Geometría

Ángulos

Ángulo es la abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen denominado vértice. Las dos semirrectas que forman el ángulo reciben el nombre de lados del ángulo. En la figura AB y AC son las semirrectas del ángulo y A es el vértice. Al ángulo se le denominaría ángulo BAC o CAB poniendo siempre en el centro la letra del vértice.

Bisectriz de un ángulo es la semirrecta que tiene como origen el vértice del ángulo y lo divide en dos ángulos iguales. En la figura AP es la bisectriz del ángulo BAC.

Medida de un ángulo

a) Sistema sexagésima. Este sistema considera la circunferencia dividida en 360º partes iguales llamando a cada división grado, cada grado a su vez se considera dividido en 60 partes iguales llamadas minutos, y a cada minuto a su vez se le divide en 60 partes denominadas segundos. Los símbolos de cada unidad son:

1º grado ; 1' minuto ; 1'' segundo

b) Sistema centesimal. Este sistema considera la circunferencia dividida en 400 partes iguales denominadas grados centesimales, cada grado centesimal se divide en 100 partes llamadas minutos centesimales y cada minuto centesimal se divide en 100 partes llamadas segundos centesimales.

1^g grado ; 1^m minuto ; 1^s segundo

c) Sistema circular. En este sistema , como la longitud de la circunferencia equivale a 2p veces la de su radio, se toma como unidad de medida de ángulos el radian, que es el ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud coincide con la del radio de la circunferencia.

360º = 400^g = 2p radianes

Ejemplos:

1) Expresar en grados sexagesimales 100^g

2) Expresar en radianes un ángulo de 30º

Clasificación

a) Angulos agudos. Son los que miden menos de 90º

b) Angulos rectos. Son los que miden 90º

c) Angulos llanos. Son los que miden 180º

d) Angulos obtusos. Son los que miden más de 90º y menos de 180º

e) Angulos cóncavos. Son los que miden más de 180º pero menos de 360º

f) Angulos complementarios. Son los que sumados valen 90º

g) Angulos suplementarios. Son los que sumados valen 180º

Ejercicios

1.	Expresar en radianes: a) 30º b) 33º c)97º 31' d) 99º 16' 30'' e) 60º 20' 8''	a) 0,5235987 b) 0,5759586 c) 1,7019869 d) 1,7326756 e)1,0530541
2.	Expresar en sistema sexagesimal: a) 0,4712389 radianes b) 0,0349065 c) 1,1170107 d) 1,3089969 e) 1,553343	a) 27º b) 2º c) 64º d) 75º e) 89º

Triángulos (definiciones y nomenclatura)

Triángulo es la porción de plano limitada por tres rectas que se cortan dos a dos.

El perímetro es la suma de los tres lados de un triángulo.

Se llaman vértices de un triángulo a los puntos de intersección de las tres rectas que los forman, en la figura serian P, N y M.

Se llaman lados de un triángulo a los segmentos de recta que lo limitan y que se cortan en los vértices, en la figura serian los lados PM, MN y NP.

Triángulo escaleno: es el que no tiene lados iguales.

Triángulo isósceles: es el que tiene dos lados iguales.

Triángulo equilátero: es el que tiene los tres lados iguales.

Triángulo rectángulo: es el que tiene un ángulo recto.

Triángulo obtusangulo: es el que tiene un ángulo obtuso.

Triángulo acutangulo: es el que tiene todos sus ángulos agudos.

El incentro de un triángulo es el punto en el que se cortan las bisectrices de sus ángulos.

El baricentro de un triángulo es el punto donde se cortan las tres medianas del mismo, estas son las rectas que van desde los vértices de sus ángulos hasta el punto medio de los lados opuestos.

El circuncentro de un triángulo es el punto donde se cortan las mediatrices del mismo, estas son las rectas perpendiculares a los puntos medios de los lados.

Las alturas de un triángulo son las perpendiculares trazadas desde los vértices hasta los lados opuestos a sus prolongaciones.

El punto donde se cortan las alturas de un triángulo se le denomina ortocentro.

La suma de los ángulos internos de un triángulo valen 180º.

Se dice que dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus lados son proporcionales.

Otros polígonos

Se llama polígono a la porcion de plano limitada por una línea poligonal cerrada que recibe el nombre de contorno.

Se denomina perímetro de un polígono a la longitud de su contorno, o sea a la suma de la longitud de sus lados.

Se llama diagonal de un polígono al segmento determinado por dos vertices no consecutivos. En la figura los segmentos AC, AD, AE, BD, BE, BF, CE, CF y DF son diagonales del polígono

Según su numero de lados se clasifican en:

Número de lados	Nombre	Número de lados	Nombre
Tres Cuatro Cinco Seis Siete	Triángulo Cuadrilátero Pentágono Exágono Heptágono	Ocho Nueve Diez Once Doce	Octágono Eneágono Decágono Endecágono Dodecágono

Se dice que un polígono es regular cuando tiene sus lados y ángulos iguales, es decir, cuando es a la vez equilátero y equiángulo.

Se llama ángulo central de un polígono regular el formado por dos radios que pasan por dos vertices consecutivos, y tiene un valor de 360º / n , siendo n el número de lados.

En la figura AOB, BOC, COD, DOE, EOF Y FOA son los angulos centrales del polígono.

Se llama apotema de un polígono regular al segmento que va del centro del polígono al punto medio de cualquiera de sus lados. En la figura el segmento OM. La apotema es igual al radio de la circunferencia inscrita.

El valor del angulo formado por dos lados consecutivos de un polígono regular de "n" lados es:

i = (n - 2) · 180º / n ó i = 180 - angulo central

Se dice que un polígono es inscrito cuando tiene todos sus vertices situados sobre una circunferencia.

Se dice que un polígono es circunscrito cuando sus lados son tangentes a la circunferencia.

La circunferencia

La circunferencia es una curva cerrada cuyos puntos estan en un mismo plano y a igual distancia de otro punto fijo que se llama centro.

Se llama radio a cualquier segmento que une el centro con un punto de la circunferencia.

Se llama circulo al conjunto formado por los puntos de la circunferenica y los puntos interiores a la misma.

Arco es una parte de la circunferencia. Semicircunferencia es un arco igual a la mitad de la circunferencia.

Se llama cuerda al segmento que une dos puntos de la circunferencia.

Se llama diametro a la cuerda que pasa por el centro.

Se llama secante a cualquier recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

Se llama tangente a cualquier recta que toca a la circunferencia en un punto y solo en uno.

Areas

TRIANGULO
TRIANGULO RECTANGULO
CUADRADO
RECTANGULO
PARALELOGRAMO
TRAPECIO
POLIGONO REGULAR
CIRCULO